アーベル・プラナの公式
数学において、アーベル・プラナの公式（英: Abel–Plana formula）は留数の性質を巧みに用いて級数の和を与える公式である。 ∑ n = ⌈ a ⌉ ⌊ b ⌋ f ( n ) = ∫ a b f ( z ) d z + i ∫ 0 ∞ ( f ( a + i y ) e 2 π y e − 2 π i a − 1 − f ( a − i y ) e 2 π y e 2 π i a − 1 − f ( b + i y ) e 2 π y e − 2 π i b − 1 + f ( b − i y ) e 2 π y e 2 π i b − 1 ) d y , ( a , b ∉ Z ) ∑ n = a b f ( n ) = 1 2 f ( a ) + 1 2 f ( b ) + ∫ a b f ( z ) d z + i ∫ 0 ∞ f ( a + i y ) − f ( a − i y ) − f ( b + i y ) + f ( b − i y ) e 2 π y − 1 d y , ( a , b ∈ Z ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{n=\lceil {a}\rceil }^{\lfloor {b}\rfloor }f(n)=\int _{a}^{b}f(z)dz+i\int _{0}^{\infty }\left({\frac {f(a+iy)}{e^{2{\pi }y}e^{-2{\pi }ia}-1}}-{\frac {f(a-iy)}{e^{2{\pi }y}e^{2{\pi }ia}-1}}-{\frac {f(b+iy)}{e^{2{\pi }y}e^{-2{\pi }ib}-1}}+{\frac {f(b-iy)}{e^{2{\pi }y}e^{2{\pi }ib}-1}}\right)dy,\qquad (a,b\not \in \mathbb {Z} )\\&\sum _{n=a}^{b}f(n)={\frac {1}{2}}f(a)+{\frac {1}{2}}f(b)+\int _{a}^{b}f(z)dz+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(a+iy)-f(a-iy)-f(b+iy)+f(b-iy)}{e^{2{\pi }y}-1}}dy,\qquad (a,b\in \mathbb {Z} )\\\end{aligned}}} 但し、 f ( x + i y ) {\displaystyle f(x+iy)} が a ≤ x ≤ b {\displaystyle a{\leq }x{\leq }b} において正則であり、 x {\displaystyle x} について一様に lim y → + ∞ e − 2 π y f ( x ± i y ) = 0 {\displaystyle \lim _{y\to +\infty }e^{-2{\pi }y}f(x{\pm }iy)=0} であることを条件とする。