ヒルベルト行列
線形代数学において正方行列 H {\displaystyle H} がヒルベルト行列（ひるべるとぎょうれつ、英: Hilbert matrix）であることの定義は，その ( i , j ) {\displaystyle (i,j)} 要素 H i , j {\displaystyle H_{i,j}} が次のような単位分数であることである： H i , j = 1 i + j − 1 {\displaystyle H_{i,j}={\frac {1}{i+j-1}}} 例として5次のヒルベルト行列を示す： H = [ 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 ] {\displaystyle H={\begin{bmatrix}1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}\\[4pt]{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}\\[4pt]{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}\\[4pt]{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}\\[4pt]{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}&{\frac {1}{9}}\end{bmatrix}}} このようなものを定義する動機としては次のような積分を考えると良い： ∫ 0 1 ( x i − 1 ) ( x j − 1 ) d x = ∫ 0 1 x i + j − 2 d x = 1 i + j − 1 = H i , j {\displaystyle \int _{0}^{1}(x^{i-1})(x^{j-1})\,dx=\int _{0}^{1}x^{i+j-2}\,dx={\frac {1}{i+j-1}}=H_{i,j}} すなわちヒルベルト行列は区間[0,1]での x {\displaystyle x} の冪乗に対するグラム行列である。 == 歴史的経緯 == ヒルベルト行列の初出はダフィット・ヒルベルトの論文集に収められた論文 "Ein Beitrag zur Theorie des Legendreschen Polynoms"である。