マチンの公式
マチンの公式（英: Machin's formula）とは、1706年にイギリスの天文学者ジョン・マチンによって発見された逆正接関数 arctan x を用いた円周率を計算するための公式、すなわち π 4 = 4 arctan 1 5 − arctan 1 239 {\displaystyle {\dfrac {\pi }{4}}=4\arctan {\dfrac {1}{5}}-\arctan {\dfrac {1}{239}}} なる公式である。 == 概要 == グレゴリー級数すなわち逆正接関数 arctan x のマクローリン展開： arctan x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 n + 1 x 2 n + 1 = x − 1 3 x 3 + 1 5 x 5 − 1 7 x 7 + 1 9 x 9 − ⋯ w h e r e | x | ≤ 1 {\displaystyle \arctan x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\,x^{2n+1}=x-{\frac {1}{3}}\,x^{3}+{\frac {1}{5}}\,x^{5}-{\frac {1}{7}}\,x^{7}+{\frac {1}{9}}\,x^{9}-\cdots \qquad {\rm {where}}\quad \vert x\vert \leq 1} に x = 1 を代入して得られる級数： π 4 = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 n + 1 = 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + 1 9 − ⋯ {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots } はライプニッツの公式と呼ばれ、見た目は綺麗な公式であるものの、収束が非常に遅いことで知られる。