ヤコビの虚数変換式
ヤコビの虚数変換式(Jacobi's imaginary transformation)は、楕円テータ関数に関する以下のような恒等式である。 ϑ 3 ( v τ , − 1 τ ) = e − π i / 4 τ 1 / 2 e π i v 2 / τ ϑ 3 ( v , τ ) {\displaystyle \vartheta _{3}\left({\frac {v}{\tau }},-{\frac {1}{\tau }}\right)=e^{-\pi i/4}\tau ^{1/2}e^{{\pi }iv^{2}/\tau }\vartheta _{3}\left(v,\tau \right)} ϑ 1 ( v τ , − 1 τ ) = − i e − π i / 4 τ 1 / 2 e π i v 2 / τ ϑ 1 ( v , τ ) {\displaystyle \vartheta _{1}\left({\frac {v}{\tau }},-{\frac {1}{\tau }}\right)=-ie^{-\pi i/4}\tau ^{1/2}e^{{\pi }iv^{2}/\tau }\vartheta _{1}\left(v,\tau \right)} ϑ 2 ( v τ , − 1 τ ) = e − π i / 4 τ 1 / 2 e π i v 2 / τ ϑ 4 ( v , τ ) {\displaystyle \vartheta _{2}\left({\frac {v}{\tau }},-{\frac {1}{\tau }}\right)=e^{-\pi i/4}\tau ^{1/2}e^{{\pi }iv^{2}/\tau }\vartheta _{4}\left(v,\tau \right)} ϑ 4 ( v τ , − 1 τ ) = e − π i / 4 τ 1 / 2 e π i v 2 / τ ϑ 2 ( v , τ ) {\displaystyle \vartheta _{4}\left({\frac {v}{\tau }},-{\frac {1}{\tau }}\right)=e^{-\pi i/4}\tau ^{1/2}e^{{\pi }iv^{2}/\tau }\vartheta _{2}\left(v,\tau \right)} この恒等式の日本語の呼称は定まっておらず、ヤコビの虚数変換式、ヤコビのモジュラー変換式、あるいは単にヤコビ変換式とも呼ばれる。