三角関数の無限乗積展開
数学において、三角関数と双曲線関数について無限乗積を用いた以下の恒等式が成立する。 sin ( π z ) = π z ∏ n = 1 ∞ ( 1 − z 2 n 2 ) {\displaystyle \sin {({\pi }z)}={\pi }z\prod _{n=1}^{\infty }{\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)}} cos ( π z ) = ∏ n = 1 ∞ ( 1 − z 2 ( n − 1 2 ) 2 ) {\displaystyle \cos {({\pi }z)}=\prod _{n=1}^{\infty }{\left(1-{\frac {z^{2}}{(n-{\frac {1}{2}})^{2}}}\right)}} sinh ( π z ) = sin ( π i z ) i = π z ∏ n = 1 ∞ ( 1 + z 2 n 2 ) {\displaystyle \sinh {({\pi }z)}={\frac {\sin({\pi }iz)}{i}}={\pi }z\prod _{n=1}^{\infty }{\left(1+{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)}} cosh ( π z ) = cos ( π i z ) = ∏ n = 1 ∞ ( 1 + z 2 ( n − 1 2 ) 2 ) {\displaystyle \cosh {({\pi }z)}=\cos({\pi }iz)=\prod _{n=1}^{\infty }{\left(1+{\frac {z^{2}}{(n-{\frac {1}{2}})^{2}}}\right)}} == 初等的な考察 == sin ( π z ) {\displaystyle \sin({\pi }z)} は複素平面全体で正則(マクローリン展開の収束半径が無限大)であるから無限次の多項式で表される。