ワトソンの五重積
数学において次の恒等式をワトソンの五重積 (ワトソンのごじゅうせき、Watson Quintuple Product) という。 ∑ n = − ∞ ∞ q n ( 3 n + 1 ) ( z 3 n − z − 3 n − 1 ) = ∏ m = 1 ∞ ( 1 − q 2 m ) ( 1 − q 2 m z ) ( 1 − q 2 m − 2 z − 1 ) ( 1 − q 4 m − 2 z 2 ) ( 1 − q 4 m − 2 z − 2 ) {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n(3n+1)}(z^{3n}-z^{-3n-1})=\prod _{m=1}^{\infty }(1-q^{2m})(1-q^{2m}z)(1-q^{2m-2}z^{-1})(1-q^{4m-2}z^{2})(1-q^{4m-2}z^{-2})} == 証明 == ヤコビの三重積により ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) n q n ( n + 1 ) z n = ∏ m = 1 ∞ ( 1 − q 2 m ) ( 1 − q 2 m z ) ( 1 − q 2 m − 2 z − 1 ) {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{n(n+1)}z^{n}=\prod _{m=1}^{\infty }(1-q^{2m})(1-q^{2m}z)(1-q^{2m-2}z^{-1})} ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) n q 2 n 2 z 2 n = ∏ m = 1 ∞ ( 1 − q 4 m ) ( 1 − q 4 m − 2 z 2 ) ( 1 − q 4 m − 2 z − 2 ) {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{2n^{2}}z^{2n}=\prod _{m=1}^{\infty }(1-q^{4m})(1-q^{4m-2}z^{2})(1-q^{4m-2}z^{-2})} オイラーの五角数定理により ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) n q 2 n ( 3 n − 1 ) = ∏ m = 1 ∞ ( 1 − q 4 m ) {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{2n(3n-1)}=\prod _{m=1}^{\infty }(1-q^{4m})} これらを用いて五重積の公式を書き直せば ∑ m = − ∞ ∞ ( − 1 ) m q 2 m ( 3 m − 1 ) ∑ n = − ∞ ∞ q n ( 3 n + 1 ) ( z 3 n − z − 3 n − 1 ) = ∑ j = − ∞ ∞ ( − 1 ) j q j ( j + 1 ) z j ∑ k = − ∞ ∞ ( − 1 ) k q 2 k 2 z 2 k {\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }(-1)^{m}q^{2m(3m-1)}\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n(3n+1)}(z^{3n}-z^{-3n-1})=\sum _{j=-\infty }^{\infty }(-1)^{j}q^{j(j+1)}z^{j}\sum _{k=-\infty }^{\infty }(-1)^{k}q^{2k^{2}}z^{2k}} となるので、この両辺が等しいことを証明する。